حل معادله شرودینگر در چندضلعی های منتظم با استفاده از نظریه گروه ها

چکیده در این پایان نامه، حل معادله شرودینگر در چندضلعی های منتظم را بررسی می کنیم. می دانیم که پاسخ معادله شرودینگر در تعداد کمی از چندضلعی های منتظم ، جداپذیر است و ویژه توابع در این چاه های پتانسیل یک مجموعه ی کامل تشکیل می دهند. حال می خواهیم این مسئله را بررسی کنیم که آیا در دیگر چاه های پتانسیل چندضلعی منتظم نیز می توان پاسخ های دقیق معادله شرودینگر با شرط مرزی دیریشله را به دست آورد و آیا این پاسخ ها لزوما مجموعه ی کاملی را تشکیل می دهند؟ رهیافتی را که در پیش خواهیم گرفت، استفاده از گروه تقارنی این ساختارهای هندسی و ایجاد تابع موج در نمایش های کاهش ناپذیر مربوطه است. با استفاده از این روش، مجموعه ی کامل ویژه توابع در چاه مثلث منتظم به دست می آید. اما با اعمال آن روی چاه پتانسیل شش ضلعی منتظم می بینیم که توابع موجی که در نمایش های کاهش ناپذیر گروه تقارنی قرار می گیرند در صورتی که شرط مرزی دیریشله را ارضا کنند، در دیگر نواحی چاه نیز صفر خواهند بود. با دنبال کردن قضیه ای ریاضی نشان داده می شود که پاسخ معادله شرودینگر به صورت برهم نهی از امواج تخت تنها در چاه های پتانسیل مستطیل، مربع، مثلث های منتظم، قائم الزاویه 45 درجه و قائم الزاویه 60 درجه امکان پذیر است. مجموعه ی پاسخ ها را در دو دسته ی حل-های اولیه و برآمده نام گذاری می کنیم بر این مبنا که آیا حل های یک چندضلعی از حل های چندضلعی دیگری که آن را فرش می کند به-دست می آید یا خیر. این قضیه را به این صورت تعبیر می کنیم که تنها این دسته از چندضلعی ها هستند که حل اولیه دارند و پاسخ های آن ها مجموعه ی کامل می سازند. اما به کمک چند قضیه نشان خواهیم داد که چاه شش ضلعی منتظم پاسخ مستقلی از خود با شرط مرزی دیریشله ندارد و تنها پاسخ های آن پاسخ های چاه پتانسیل مثلث منتظم با سه شرط مرزی دیریشله است که این ها مجموعه ی کاملی نمی سازند. همچنین روش های تقریبی که برای حل چاه پتانسیل شش ضلعی منتظم به کار رفته است را مورد نقد و یررسی قرار می دهیم. ابتدا روش-های عددی را بحث میکنیم و این مسئله را بررسی می کنیم که آیا در این روش هر دو شرط پاسخ معادله هلمهولتز بودن و ارضای شرط مرزی دیریشله رعایت شده است یا خیر. در ادامه روش دیگری که سعی در به دست آوردن ویژه توابع به روش تحلیلی دارد را نیز نقد می کنیم. در این روش با استفاده از بازمقیاس شعاعی پاسخ های ذره ی محصور در دیسک دایروی، معادله شرودینگر برای ذره ی محصور در بیلیارد به شکل دلخواه حل شده است. نشان خواهیم داد که پاسخ هایی به دست آمده به این روش با اینکه شرط مرزی را ارضا میکنند اما پاسخ معادله ی هلمهولتز نیستند. مسئله ی دیگری که در نظر خواهیم گرفت آرایه ای از شش ضلعی های منتظم است که معادله شرودینگر با شرط مرزی دوره ای را در آن حل خواهیم کرد. در حالت خاص این شرط مرزی می تواند شرط مرزی دیریشله یا نویمن باشد. ویژه توابع در 4 نمایش کاهش ناپذیر یک بعدی و 2 نمایش کاهش ناپذیر دو بعدی گروه تقارنی را می یابیم و نشان می دهیم که پاسخ های با شرط مرزی دیریشله، همان پاسخ های بر آمده ی مربوط به مثلث منتظم هستند. کلمات کلیدی: معادله شرودینگر، چند ضلعی منتظم، چاه پتانسیل، گروه تقارنی، نمایش کاهش ناپذیر، شش ضلعی منتظم، شرط مرزی دیریشله، حل اولیه، حل برآمده